Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика

Учебно-справочное пособие. — М.: Астрель, 2013. — 672 с. — (Справочник школьника). — ISBN 978-5-271-07165-2.

Изображение отличного качества с текстовым слоем.

Справочник включает все темы школьного курса и соответствует современным образовательным стандартам и программам. Книга состоит из двух частей: «Алгебра и начала анализа» и «Геометрия».

Основной материал школьного курса математики изложен авторами сжато и системно: математические понятия, аксиомы, теоремы, свойства и т.д.

Книга будет незаменимым помощником при изучении и закреплении нового материала, повторении пройденных тем, а также при подготовке к зачётам, выпускным экзаменам в школе и вступительным экзаменам в любой вуз.

Содержание (под спойлером).

Алгебра и начала анализа
Числа
Натуральные числа.
Запись натуральных чисел.
Арифметические действия над натуральными числами.
Деление с остатком.
Признаки делимости.
Разложение натурального числа на простые множители.
Наибольший натуральный делитель нескольких натуральных чисел.
Наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел.
Употребление букв в алгебре. Переменные.
Рациональные числа.
Обыкновенные дроби. Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа.
Равенство дробей. Основное свойство дроби. Сокращение дробей.
Приведение дробей к общему знаменателю.
Арифметические действия над обыкновенными дробями.
Взаимно обратные числа.
Десятичные дроби.
Арифметические действия над десятичными дробями.
Проценты.
Обращение обыкновенной дроби в бесконечную десятичную периодическую дробь.
Обращение бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь.
Множество рациональных чисел.
Действительные числа.
Иррациональные числа.
Действительные числа. Числовая прямая.
Обозначения некоторых числовых множеств.
Сравнение действительных чисел.
Свойства числовых неравенств.
Числовые промежутки.
Модуль действительного числа.
Формула расстояния между двумя точками координатной прямой.
Правила действий над положительными и отрицательными числами.
Свойства арифметических действий над действительными числами.
Пропорции.
Целая часть числа. Дробная часть числа.
Степень с натуральным показателем.
Степень с нулевым показателем. Степень с отрицательным целым показателем.
Стандартный вид положительного действительного числа.
Определение арифметического корня. Свойства арифметических корней.
Корень нечетной степени из отрицательного числа.
Степень с дробным показателем.
Свойства степеней с рациональными показателями.
Приближенные значения чисел. Абсолютная и относительная погрешности.
Десятичные приближения действительного числа по недостатку и по избытку.
Правило извлечения квадратного корня из натурального числа.
Понятие о степени с иррациональным показателем.
Свойства степеней с действительными показателями.
Комплексные числа.
Понятие о комплексном числе.
Арифметические операции над комплексными числами.
Алгебраическая форма комплексного числа.
Отыскание комплексных корней уравнений
Алгебраические выражения
Основные понятия.
Виды алгебраических выражений.
Допустимые значения переменных.
Область определения алгебраического выражения.
Понятие тождественного преобразования выражения. Тождество.
Целые рациональные выражения.
Одночлены и операции над ними.
Многочлены. Приведение многочленов к стандартному виду.
Формулы сокращенного умножения.
Разложение многочленов на множители.
Многочлены от одной переменной.
Разложение квадратного трехчлена на линейные множители.
Разложение на множители двучлена хn – аn.
Возведение двучлена в натуральную степень (бином Ньютона).
Дробные рациональные выражения.
Рациональная дробь и ее основное свойство.
Сокращение рациональных дробей.
Приведение рациональных дробей к общему знаменателю.
Сложение и вычитание рациональных дробей.
Умножение и деление рациональных дробей.
Возведение рациональной дроби в целую степень.
Преобразование рациональных выражений.
Иррациональные выражения.
Простейшие преобразования арифметических корней (радикалов).
Тождество 1/2)2 = |а|.
Преобразование иррациональных выражений.
Функции и графики
Определение и свойства функций.
Определение функции.
Аналитическое задание функции.
Табличное задание функции.
Числовая плоскость. Координатная плоскость, оси координат.
График функции, заданной аналитически.
Четные и нечетные функции.
График четной функции. График нечетной функции..
Периодические функции.
Монотонные функции.
Виды функций.
Постоянная функция.
Прямая пропорциональность.
Линейная функция.
Взаимное расположение графиков линейных функций.
Обратная пропорциональность.
Функция у = х2.
Функция у = х2.
Степенная функция с натуральным показателем.
Степенная функция с целым отрицательным показателем.
Функция у = х1/2.
Функция y = x1/3.
Функция y = x1/n.
Степенная функция с положительным дробным показателем.
Степенная функция с отрицательным дробным показателем.
Функция у = [х].
Функция у = {х}.
Показательная функция.
Обратная функция. График обратной функции.
Логарифмическая функция.
Число е. Функция у = еx. Функция у = ln x.
Числовая окружность.
Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Знаки тригонометрических функций по четвертям числовой окружности.
Свойства тригонометрических функций.
Свойства и график функции у = sin x.
Свойства и график функции у = cos x.
Свойства и график функции у = tg х.
Свойства и график функции у = ctg x.
Функция у = arcsin x.
Функция у = arccos x.
Функция у = arctg x.
Функция у = arcctg x.
Преобразования графиков.
Построение графика функции у = mf(x).
Графики функций у = ах2, у = аx3.
Построение графика функции у = f(x – m) + n.
График квадратичной функции.
Способы построения графика квадратичной функции.
Построение графика функции у = f(kx).
Сжатие и растяжение графиков тригонометрических функций.
График гармонического колебания у = A sin(ωx + α).
Трансцендентные выражения
Преобразование выражений, содержащих переменную под знаком логарифма.
Понятие трансцендентного выражения.
Определение логарифма положительного числа. Натуральные логарифмы.
Свойства логарифмов.
Переход к новому основанию логарифма.
Логарифмирование и потенцирование.
Десятичный логарифм. Характеристика и мантисса десятичного логарифма.
Формулы тригонометрии и их использование для преобразования тригонометрических выражений.
Тригонометрические выражения.
Формулы сложения и вычитания аргументов.
Формулы приведения.
Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.
Формулы двойного аргумента.
Формулы понижения степени.
Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение.
Преобразование произведений тригонометрических
функций в сумму.
Преобразование выражения a cos t + b sin t к виду A cos (t – α).
Примеры преобразований выражений, содержащих обратные тригонометрические функции.
Уравнения и системы уравнений
Уравнения с одной переменной.
Определение уравнения. Корни уравнения.
Равносильность уравнений.
Линейные уравнения.
Квадратные уравнения.
Неполные квадратные уравнения.
Теорема Виета.
Системы и совокупности уравнений.
Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.
Понятие следствия уравнения. Посторонние корни..
Уравнения с переменной в знаменателе.
Область определения уравнения (ОДЗ).
Рациональные уравнения.
Решение уравнения р(х) = 0 методом разложения его левой части на множители.
Решение уравнений методом введения новой переменной.
Биквадратные уравнения.
Решение задач с помощью составления уравнений.
Иррациональные уравнения.
Показательные уравнения.
Логарифмические уравнения.
Примеры решения показательно-логарифмических уравнений.
Простейшие тригонометрические уравнения.
Методы решения тригонометрических уравнений.
Однородные тригонометрические уравнения.
Универсальная подстановка (для тригонометрических уравнений).
Метод введения вспомогательного аргумента (для тригонометрических уравнений).
Графическое решение уравнений.
Уравнения с параметром.
Уравнения с двумя переменными.
Решение уравнения с двумя переменными.
График уравнения с двумя переменными.
Линейное уравнение с двумя переменными и его график.
Системы уравнений.
Системы двух уравнений с двумя переменными.
Равносильные системы.
Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом подстановки.
Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом сложения.
Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом введения новых переменных.
Графическое решение систем двух уравнений с двумя переменными.
Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
Решение систем двух уравнений с двумя переменными методами умножения и деления.
Системы показательных и логарифмических уравнений.
Системы тригонометрических уравнений с двумя переменными.
Системы трех уравнений с тремя переменными.
Решение задач с помощью составления систем уравнений.
Неравенства
Решение неравенств.
Основные понятия, связанные с решением неравенств с одной переменной.
Графическое решение неравенств с одной переменной.
Линейные неравенства с одной переменной.
Системы неравенств с одной переменной.
Совокупность неравенств с одной переменной.
Дробно-линейные неравенства.
Квадратные неравенства.
Графическое решение квадратных неравенств.
Неравенства с модулями.
Решение рациональных неравенств методом промежутков.
Показательные неравенства.
Логарифмические неравенства.
Иррациональные неравенства.
Решение тригонометрических неравенств.
Неравенства и системы неравенств с двумя переменными.
Доказательство неравенств.
Метод оценки знака разности.
Синтетический метод доказательства неравенств.
Доказательство неравенств методом от противного.
Использование неравенств при решении уравнений.
Элементы математического анализа
Числовые последовательности.
Определение последовательности.
Способы задания последовательности.
Возрастание и убывание последовательности.
Определение арифметической прогрессии.
Свойства арифметической прогрессии.
Определение геометрической прогрессии.
Свойства геометрической прогрессии.
Понятие о пределе последовательности.
Вычисление пределов последовательностей.
Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q| < 1.
Предел функции
Предел функции у = f(x) при х → ∞.
Горизонтальная асимптота.
Вычисление пределов функций при х → ∞.
Предел функции при х → a. Непрерывные функции.
Вертикальная асимптота.
Вычисление пределов функций при х → a.
Производная и ее применения.
Приращение аргумента. Приращение функции.
Определение производной.
Формулы дифференцирования. Таблица производных.
Дифференцирование суммы, произведения, частного.
Сложная функция и ее дифференцирование.
Физический смысл производной.
Вторая производная и се физический смысл.
Касательная к графику функции.
Применение производной к исследованию функций на монотонность.
Применение производной к исследованию функций на экстремум.
Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке.
Отыскание наибольшего или наименьшего значения непрерывной функции на незамкнутом промежутке.
Задачи на отыскание наибольших или наименьших значений величин.
Применение производной для доказательства неравенств.
Общая схема построения графика функции.
Первообразная и интеграл.
Первообразная.
Таблица первообразных.
Правила вычисления первообразных.
Интеграл.
Связь между интегралом и первообразной (формула Ньютона—Лейбница).
Правила вычисления интегралов.
Использование интеграла для вычисления площадей плоских фигур.
Геометрия
Геометрические фигуры
Основные геометрические фигуры.
Общие представления о геометрических фигурах. Объединение и пересечение фигур.
Изображения геометрических фигур.
Точки и прямые.
Взаимное расположение точек и прямых.
Плоскости.
Отрезки.
Понятие отрезка.
Измерение длины отрезка.
Расстояния между точками и их свойства.
Ломаная.
Понятие ломаной.
Длина ломаной.
Углы.
Луч.
Понятие угла.
Измерение углов.
Равенство углов. Биссектриса угла.
Смежные углы.
Вертикальные углы.
Треугольники.
Определение треугольника. Некоторые виды
треугольников.
Углы треугольника.
Высота треугольника.
Сумма углов треугольника.
Свойства равнобедренного треугольника.
Равенство треугольников.
Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.
Многоугольники.
Общее понятие многоугольника.
Углы многоугольника.
Параллелограмм.
Прямоугольник и квадрат.
Ромб.
Трапеция.
Правильные многоугольники.
Площади фигур.
Понятие площади.
Площади прямоугольника прямоугольного треугольника.
Площади треугольников.
Площади четырехугольников и многоугольников.
Окружность и круг.
Определение окружности и круга.
Центральные углы и дуги окружности.
Вписанные углы.
Взаимное расположение прямой и окружности.
Взаимное расположение двух окружностей.
Окружности, описанные около треугольника и вписанные в треугольник.
Многоугольники, вписанные в окружности и описанные около них.
Вписанные и описанные правильные многоугольники.
Длина окружности.
Площадь круга.
Части окружности и круга.
Многогранники.
Трехгранный угол. Свойства плоских углов
трехгранного угла.
Многогранные углы.
Прямоугольные трехгранные углы.
Пирамиды.
Призмы.
Параллелепипеды.
Тело и его поверхность.
Общее определение многогранника.
Правильные многогранники.
Триангуляция многоугольников и многогранников.
Развертки многогранников.
Тела вращения.
Понятие о поверхности и телах вращения.
Цилиндр.
Призма, вписанная в цилиндр и описанная около него.
Конус.
Пирамида, вписанная в конус и описанная около него.
Шар.
Части шара и сферы.
Взаимное расположение прямых
Пересекающиеся прямые.
Понятие пересекающихся прямых.
Перпендикулярные прямые.
Понятие перпендикулярных прямых.
Серединный перпендикуляр отрезка.
Перпендикуляр и наклонная.
Геометрическое место точек.
Параллельные прямые.
Понятие параллельности прямых.
Аксиома параллельных.
Пересечение двух прямых секущей.
Неевклидова геометрия.
Скрещивающиеся прямые.
Понятие скрещивающихся прямых.
Угол между скрещивающимися прямыми.
Расстояние между скрещивающимися прямыми.
Взаимное расположение прямых и плоскостей
Перпендикулярность прямой и плоскости.
Пересекающиеся прямые и плоскости.
Перпендикулярность прямой и плоскости.
Параллельность и перпендикулярность прямых, проведенных к плоскости.
Наклонные к плоскости.
Угол между прямой и плоскостью.
Параллельность прямой и плоскости.
Понятие параллельности прямой и плоскости.
Взаимное расположение плоскостей
Пересекающиеся плоскости.
Понятие пересекающихся плоскостей.
Двугранные углы.
Перпендикулярность плоскостей.
Понятие перпендикулярности плоскостей.
Параллельность плоскостей.
Понятие параллельности плоскостей.
Свойства и признаки параллельных плоскостей. Признак параллельности двух плоскостей.
Геометрические преобразования фигур
Изометрии (движения).
Понятие геометрического преобразования.
Поворот вокруг точки на данный угол.
Вращение фигуры вокруг оси на данный угол.
Симметрия относительно точки (центральная симметрия).
Симметрия относительно прямой (осевая симметрия).
Симметрия относительно плоскости (зеркальная симметрия).
Параллельный перенос.
Определение и свойства изометрии.
Изометрия и равенство фигур.
Подобие фигур. Преобразование подобия
Подобие фигур.
Понятие подобия фигур.
Подобие треугольников.
Подобие многоугольников.
Преобразование подобия.
Гомотетия и ее свойства.
Понятие преобразования подобия.
Прямоугольная декартова система координат
Декартовы координаты на плоскости и в пространстве.
Декартовы координаты на прямой.
Декартовы координаты на плоскости.
Декартовы координаты в пространстве.
Координаты середины отрезка.
Формула расстояния между точками.
Уравнения фигур.
Понятие уравнения фигур.
Уравнение прямой.
Уравнение окружности и сферы.
Векторы
Векторы и операции с ними.
Понятие вектора.
Равенство векторов.
Сложение векторов.
Правило параллелепипеда сложения векторов.
Разность векторов.
Умножение вектора на число.
Скалярное произведение векторов.
Разложение вектора на составляющие.
Координаты вектора.
Координаты вектора.
Свойства координат вектора.
Объемы и площади поверхностей фигур
Объемы многогранников.
Понятие объема фигур.
Принцип Кавальери.
Объем призмы.
Объем пирамиды.
Объемы фигур вращения.
Объем цилиндра.
Объем конуса.
Объем шара.
Объемы частей шара.
Площади поверхностей круглых тел.
Площадь поверхности шара и его частей.
Площадь поверхности цилиндра.
Площадь поверхности конуса.
Метрические соотношения в треугольнике
Тригонометрические функции углов прямоугольного треугольника.
Синус и косинус в прямоугольном треугольнике.
Тангенс и котангенс.
Решение треугольников.
Решение прямоугольных треугольников.
Теорема косинусов.
Теорема синусов.
Предметный указатель

Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика

Абитуриентам и школьникам | Математика

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: